最佳答案2022考研数学二答案整理第一部分：分析题答案 本次2022年考研数学二的分析题难度适中，涵盖了一些常见的分析知识点。下面对每道题的答案进行整理和分析。 1. 求微分方程 $\\fra...
2022考研数学二答案整理
第一部分：分析题答案
本次2022年考研数学二的分析题难度适中，涵盖了一些常见的分析知识点。下面对每道题的答案进行整理和分析。
1. 求微分方程 $\\frac{dy}{dx} + y = e^x$ 的通解。
解答：将微分方程化为标准形式 $\\frac{dy}{dx} = - y + e^x$，得到 $\\frac{dy}{-y + e^x} = dx$。对方程两边同时积分，得到 $\\int \\frac{1}{-y + e^x}dy = \\int dx$。
对左边的积分采用常数变易法，令 $u = -y + e^x$，则 $du = -dy + e^xdx$。将 $du$ 和 $dx$ 替换到方程中，得到 $\\int \\frac{1}{u}du = \\int dx$。
解上述积分得到 $\\ln |u| = x + C_1$，其中 $C_1$ 为任意常数。
将 $u$ 换回 $y$，即 $-y + e^x = C_2e^x$，其中 $C_2 = \\pm e^{C_1}$ 为任意常数。
将上式转换为 $y = -C_2e^x + e^x$，整理得到 $y = (1 - C_2)e^x$。
因此，微分方程 $\\frac{dy}{dx} + y = e^x$ 的通解为 $y = (1 - C_2)e^x$，其中 $C_2$ 为任意常数。
2. 求函数 $y = \\sin x + \\int_0^{\\pi} (t + 1)|x - t|dt$ 的极值点。
解答：对于函数 $y = \\sin x + \\int_0^{\\pi} (t + 1)|x - t|dt$，要求其极值点。
首先，考虑函数 $\\int_0^{\\pi} (t + 1)|x - t|dt$。注意到积分部分是一个关于 $x$ 的函数。
当 $t < x$ 时，$|x - t| = x - t$，当 $t \\geq x$ 时，$|x - t| = t - x$。
因此，$\\int_0^{\\pi} (t + 1)|x - t|dt = \\int_0^x (t + 1)(x - t)dt + \\int_x^{\\pi} (t + 1)(t - x)dt$。
对上式积分得到 $\\int_0^{\\pi} (t + 1)|x - t|dt = 2x\\pi - \\frac{\\pi^2}{2} + 2\\pi \\cos x$。
所以，函数 $y = \\sin x + \\int_0^{\\pi} (t + 1)|x - t|dt = \\sin x + 2x\\pi - \\frac{\\pi^2}{2} + 2\\pi \\cos x$。
要求函数 $y$ 的极值点，需要求导数。对函数 $y$ 求导得到 $y' = \\cos x + 2\\pi - 2\\pi \\sin x$。
将导数 $y'$ 置零解方程 $\\cos x + 2\\pi - 2\\pi \\sin x = 0$，解该方程得到 $x = \\arccos \\left(\\frac{2\\pi}{1 + 2\\pi}\\right)$。
将 $x$ 带入原函数 $y$，得到极值点 $(x, y) = \\left(\\arccos \\left(\\frac{2\\pi}{1 + 2\\pi}\\right), \\sin \\left(\\arccos \\left(\\frac{2\\pi}{1 + 2\\pi}\\right)\\right) + \\int_0^{\\pi} (t + 1)\\left|x - t\\right|dt\\right)$。
3. 求积分 $\\int \\frac{e^x}{(1 + e^x)^2}dx$。
解答：对积分 $\\int \\frac{e^x}{(1 + e^x)^2}dx$ 进行部分分式拆分。
首先将分母 $(1 + e^x)^2$ 分解为 $1 + 2e^x + e^{2x}$。
将分式 $\\frac{e^x}{1 + 2e^x + e^{2x}}$ 进行部分分式拆解为 $\\frac{A}{1 + e^x} + \\frac{B}{1 + e^{2x}}$。
将上式相加得到 $\\frac{e^x}{(1 + e^x)^2} = \\frac{A(1 + e^{2x}) + B(1 + e^x)}{(1 + e^x)(1 + e^{2x})}$。
化简上式得到 $e^x = A(1 + e^{2x}) + B(1 + e^x)$。
对上式两边取 $x = 0$，得到 $1 = A + B$。
对上式两边取 $x = 1$，得到 $e = A(1 + e^2) + B(1 + e)$。
解上述方程组得到 $A = -\\frac{e^2}{e^2 - 1}$，$B = \\frac{1}{e^2 - 1}$。
因此，原积分可拆分为 $\\int \\frac{e^x}{(1 + e^x)^2}dx = \\int \\left(-\\frac{e^2}{e^2 - 1}\\cdot \\frac{1}{1 + e^x}\\right)dx + \\int \\left(\\frac{1}{e^2 - 1}\\cdot \\frac{1}{1 + e^{2x}}\\right)dx$。
对上述两个积分使用换元法，最后可得 $\\int \\frac{e^x}{(1 + e^x)^2}dx = \\frac{-1}{e^2 - 1}\\ln |1 + e^{x}| + \\frac{1}{2(e^2 - 1)}\\ln |1 + e^{2x}| + C$，其中 $C$ 为积分常数。
